直观三角函数仪制作方法

任永亮

1988年7月27日

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三角函数 直观

1.直观三角函数仪，该仪器有基板(1)，游标滑板(2)，移动机构(3)，其特征在于A、所述基板(1)标有单位园及角度标记，和与三角函数有关的标记B、所述游标滑板(2)标有与基板(1)上单位园相应，与基板上三角函数值标记对应的三角函数值标记；C、所述游标滑板(2)有显示基板(1)三角函数值标记的标记；D、所述移动机构(3)能使基板(1)与游标滑板(2)在相互间平行直线上移动2.根据权利要求书1所述基板(1)，其特征是在其中央标有单位园及0°至360°的角度刻度3.根据权利要求1所述基板(1)，其特征是在单位园旁边一侧标有纵向-1至1的正弦值刻度4.根据权利要求1所述基板(1)，其特征是在单位园上面、下面分别有纵向滑动孔5.根据权利要求1所述基板(1)，其特征是在单位园内安置有与正弦、余弦值有关的向量臂6.根据权利要求5所述向量臂，其特征是向量臂一侧棱与过单位园园心任意直线相重合7.根据权利要求5所述向量臂，其特征是向量臂一侧与过单位园园心的基板上的任意垂面相重合8.根据权利要求1所述，游标滑板(2)，其特征是游标滑板中心的上面和下面分别标有横向-1至1余弦函数值刻度9.根据权利要求1所述游标滑板，其特征是在游标滑板中心旁边与基板(1)上正弦刻度相应处标有纵向正弦游标刻度

为、教学界、科技界本仪器是以“平面直角坐标”、“单位园”为基础，利用“与两条平行的定直线距离相等的点的轨迹”、“到一个定点的距离等于定长的点的轨迹”、“一条没有间隙的连续曲线”，采用基板、游标滑板、向量臂三个主要结构相结合，把“平面直角坐标”、“三角函数”各要素之间的内在联系及其值直观的表现出来利用机械加工中使用的量具的游标原理把正弦、余弦值精确到0.0004把角度值精确到2分，使以坐标原点为原点的向量的量值的有效数字达到5位本仪器根据其复杂程度及相应的应用范围分以下两种1、①简易直观三角函数仪(图1)结构有基板(图1-1)游标滑板(图1-2)，滑动键(图1-3)，滑动键连接板(图1-4)组成，基板中央是“单位园”及角度刻度，每刻度值为1度，单位园一侧是正弦刻度，每刻度正弦值为0.02，游标滑板中央有方孔，方孔上侧下侧有余弦刻度，每刻度余弦值为0.02，方孔旁边一侧有正弦游标，是把正弦值0.98分成50等分使用方法举例①观察三角函数正弦、余弦值来历及其在值域-1至1区间递增递减的变化规律，先把游标滑板方孔上侧与“单位园”0度相交，然后将游标滑板向上移动，在移动过程中与“单位园”度数相交的余弦刻度就是该角度余弦值，而与该余弦相应的方孔一侧相重合的基板上的正弦刻度就是该角度的余弦值，当游标滑板与“单位园”上90度相切时再向下移动，移至与“单位园”上180度相交时，再将游标滑板向上移动，使方孔下侧移至与“单位园”上180度相交处，然后向下移动移至与“单位园”上270度相切处，再向上移动到“单位园”的360度，即0度为止这样，正弦、余弦值的来历及其在值域-1至1递增递减变化规律即可观察到了为观察某度的正弦精确值，在移动过程中，与某度相交的游标滑板方孔一侧，若不与基板上的正弦刻度相重合，就要观察游标滑板上余弦游标，并从该一侧的(或邻近的)正弦游标数值为0的刻度开始向正弦游标上另一个数值为0刻度方向逐刻度观察，那个刻度与基板上正弦刻度相重合，若是第一个刻度相重合而且相应一侧又是上侧，就是该侧下面的基板上的正弦刻度增加0.0004反之，若方孔上相应一侧是下侧，则是该侧上面的基板上的正弦刻度值减0.0004，即加-0.0004，若第二个刻度相重合则合则应加或减0.0008，依次类推，若要观察余弦的精确值则可用CoSα＝Sin( (π)/2 -α)公式求得，以下有关游标原理与此基本相同故从略②观察几个三角诱导公式的来历如Sinα＝Cos( (π)/2 -α)先找出α的正弦值，再找出 (π)/2 -α的余弦值就清楚了，用此办法还可观察到所有三角诱导公式的来历2、直观三角函数计算器(图2)结构除与“简易直观三角函数仪”相同，而且包括其使用方法的基板(图2-5)，游标滑板(图2-1)，滑动键(图2-20)，滑动键连接板(图2-21)外在“单位园”中央安置了能以“单位园”园心为轴旋转任意角度的园盘(图2-15)在园盘园心一侧安置了向量臂支架(图2-17)，由连接轴(图2-16)把向量臂支架和向量臂(图2-19)相连接，向量臂上向量游标一侧下面的梭与过园心的任意直线相重合，并能以连接轴为轴在过“单位园”园心的任意垂面上旋转运动园盘上装有园盘固定螺丝(图2-14)，向量臂主要有向量臂基臂(图2-19-1)，向量游标(图2-19-2)，向量游标固定螺丝(图2-19-4)，向量臂上刻有向量刻度，每刻度值为0.01，向量游标刻度是将向量为0.49的值分成50等分，在基板上“单位园”的外面装有角度游标，角度游标上面有三段用法相同(由于仪器结构限制，该角游标只能旋转近120度)游标刻度，游标刻度是将29度分成30等分，在游标滑板方孔上侧安置了用于0至180度的余弦精确值的余弦游标，其刻度值与游标滑板上的正弦游标相等观察向量的基本概念及以平面直角坐标原点为原点的某向量坐标，解析几何(北京市《初等数学》编写组编，人民教育出版社1978年7月河北第二次印刷第29页“怎样表示一条直线的方向呢？可以用直线和轴的夹角来表示直线的方向”第5页“既表示有向线段，又表示有向线段的量”线性代数(机械工程师进修大学第1期)49页“在平面上建立直角坐标系后一个2维向量α＝(a1a2)对应于一个有向线段 ()/(OP) 其中O是坐标原点点P的坐标是“a1a2”先移动游标滑板露出与角度游标(使用方法略)相结合的“单位园”上与给定方向相应的角度值，然后旋转向量臂，移动向量游标，使向量游标底部与相应角度游标数值为0的刻度相重合，并固定“单位园”中央的园盘，这就是该向量的方向然后移动向量游标，使其相应数值为0的刻度对准向量臂向量刻度的相应处，并固定向量游标，该处的值就是该向量的量值，并将向量臂掀起以能配合游标滑板及余弦游标为宜，使向量游标底部梭相应的数值为0的刻度连线与余弦游标相应的数值为0刻度外端相重合(注由于0至180度应用范围较广，故在游标滑板方孔下侧未安置余弦游标，故在观察180至360度的X值时，只能使相应X值的刻度外与向量游标的相应处相重合)，重合的余弦刻度就是坐标X值而与方孔相应一侧重合的正弦值就是坐标Y的值这种给定方向给定量就是向量的基本概念，而上述方法就可直接观察到某以“平面直角坐标”坐标原点为原点的向量的坐标X、Y值此法还应用于已知斜边和相应度数观察两直角边，只需按比例乘以10即可已知坐标X、Y值观察过园心的向量，先移动余弦游标和游标滑板，使之对准相应的X、Y值然后旋转向量臂和向量游标使向量游标底部向量游标相应0的刻度的连线与余弦值的相应0的刻度外端相重合，反映在该向量臂的方向就是该向量的方向，而反映到向量臂的刻度值就是该向量的量值，此法还应用于两直角，也观察对应的度数和斜边的值从检索国内有关资料看，这种构思是没有的本发明的目的1、有利于教学，有利于对于“平面直角坐标”、“三角函数”有关的各种知识的理解，从而提高教育质量，加快教学进度2、减少有关“三角函数”内容方面的计算时间，从而提高工作效率本发明实施包括的内容对于数学中①“平面直角坐标”中各坐标的关系;②正弦、余弦值的来历，及其在值域-1至1之间的递增递减的规律;③0至360度度数值精确到2分，正弦、余弦值精确到0.0004向量值有效数字达到5位;④三角诱导公式的来历;⑤在直角三角形中三边和对应角，已知两值，求另外两个值;⑥向量的基本概念及其在“平面直角坐标”的坐标X、Y值;⑦以平面直角坐标的坐标原点为原点的量任意方向的坐标值及变化规律;⑧斜率的基本概念以“平面直角坐标”坐标原点为原点某方向随着量的变化在平面直角坐标的坐标值的变化规律，对于微积分中讲的函数的连续性都可直接观察到，对于中学直至大学与“平面直角坐标”、“三角函数”有直接关系的如高等数学的线性代数的向量的模、线性相关性，向量的正交性，工程力学的理论力学力的坐标，优化设计学科中为什么把目标函数值的搜索方向确定为与负梯度方向成锐角做为总原则(机械工程师进修大学13期45页)都有一定的直观作用本发明具备以下三个优点及积极效果1、直观性，由于本发明依赖于“平面直角坐标”、“三角函数”的内在联系，把比较抽象的理论、利用基板、游标滑板相互间平行直线运动，利用向量臂以“平面直角坐标”的坐标原点为轴的旋转运动实在的表现出来，所以它具有鲜明的直观性，如“简易直观三角函数仪”游标滑板与基板相互间的平行直线运动就可直接观察到正弦、余弦值的来历如“直观三角函数计算器”，利用游标滑板、基板相互间的平行直线运动和向量臂以平面直角坐标原点为轴的旋转相结合就可直接观察到以坐标原点为原点向量在平面直角坐标的X、Y值2、连续性，由于本发明利用“与两条平行的定直线距离相等点的轨迹”、“到一个定点的距离等于定长的轨迹”将“平面直角坐标”三角函数的各要素反映出来，它不同于某些数值的巧妙结合，既便这种变化无限小时，它的各要素值随着它们之间的内在联系变化反映出来3、精确性，由于本发明采用机械加工中常用量具的游标原理，如正弦游标、余弦游标、向量游标及角度游标所以使正弦、余弦值精确到0.0004，角度值精确到2分，向量有效数字可达到五位，这基本上和常用的“三角函数表”上正弦、余弦值相同，由于它设置了向量臂，所以就很大程度上可以不考虑三角函数表上的正切、余切值从广度上看它不仅包括常用函数表中0至90度的有关值，而且还包括90至360度的正弦、余弦值，也就是说把正弦、余弦的值域全包括进去了从教学角度上看，小学基本上属于直观教育，随着教学的高深直观教育就愈少，数学这门基础课尤为如此，这就给教师讲授，学生学习知识造成一定困难为了解决这些问题，在一些学科中如物理、化学等配备了不少的教学仪器，而且随着科学技术、生产的发展这些教学仪器越来越普及、越完善从而能够直观的反映有关知识，无疑这些教学仪器是教学领域的有力工具与本仪器有关的知识教学过程一般是1.有关理论及定理公式推导证明，这往往比较抽象2.借助于作图，便于理解有关理论知识，而这种作图毕竟是有限，而且这种作图不可能把所有有关联的要素全表示出来，这种作图事实上属于离散性的、不全面的3.学生做习题，以便加深记忆，进一步理解所学到的知识，但这样做往往会死记公式，把本来来自于实在的话的理论知识，变成了教条的死板的东西由于本仪器具备直观性，所以教师在讲授有关知识时结合本仪器就能把本来比较抽象的理论讲的更具体了，把有关定理、公式讲活了由于本仪器具有连续性，而且包括原始的、实在的知识在内的内容比较全面所以要比作几个有限内容不够全面的图形效果更明显如在机械优化设计学科中，为什么要把目标函数值的搜索方向确定为与负梯度成锐角的方向做为总原则这里假定“平面直角坐标”的坐标原点为原点，X轴的正方向为负梯度方向，因为只有在与负梯度成锐角其X值才为正即与负梯度方向相近，才可能接近目标函数值，当然在确定搜索方向时还需找出可行步长因子，而最优步长因子又是该搜索方向的最优量假定搜索方向与负梯度方向成钝角，既使是步长因子在无限小时其X值也为负，即比原点距目标函数值要远所以要把搜索方向确定为与负梯度方向成锐角是寻求最优设计方案前提的总原则对于这样一个问题通过本仪器就轻而易举的一目了然的观察到了对于这样一个平面直角坐标的知识在初中就学到了，但又确实是大学不少学科的基础，对于学习大学知识的人来说，中学的知识不一定完全那么扎实，如果每次讲有关课程时都要把有关“平面直角坐标”各要素的值全部画出来，无疑这既显得繁锁，又显得庸俗势必影响教学进度，而不画出又不能明显说明问题采用本仪器就可轻而易举的明显解决了，它不仅可以重温以前学过的知识而且有助于对新的知识的理解，有这样一句话叫做看十遍不如做一遍，因为做一遍更有亲其体会，而学生在学习、做习题、复习过程中运用本仪器可以随时亲手多做几遍学到的知识，这种理论与有关实践相结合的教学方法势必得出事倍功半的效果由于本仪器包含内容与数、理、工等学科有着相当广泛的直接的、间接的联系所以，对教学尤其对一些对于比较抽象的理论理解不太好的人来说是一个有力工具由于“直观三角函数计算器”的精确性，可以免去有关直角边斜边、度数的计算，而且无需查三角函数表，这样就可以提高工作效率尤其对文化水平比较低的技术工人，这种直观效果会更好对实现本发明的几个有关问题的说明1、关于附图该附图仅用于本发明的构思，若需制作还需按照机械制图的标准进行整理为清晰地反映本仪器的结构，该附图的剖面采用了机械制图规定的金属剖面，若需制作还需重新整理成与材料相适应的剖面2、由于本发明主要用于教学领域，对于该仪器可以按照比例放大或缩小材料可基本采取硬质塑料，其精密程度无需过严格对“简易直观三角函数仪”中间的方孔可采用透明材料，对“直观三角函数计算器除游标滑板上的正弦游标(因为与复杂程度无关)外角度游标、余弦游标、向量游标都可去掉，不少构件都可采用模压制品3、由于“直观三角函数计算器”是一种计算器，它不同于量具，其受力不大，同时在设计中已把固定螺母处(图2-15)(图2-19-2)厚度考虑进去，所以除连接螺丝，固定螺丝处都可采用硬质塑料图(1)容易直观三角函数仪 图1-1简易直观三角函数仪基板 图1-2简易直观三角函数仪游标滑板 图1-3简易直观三角函数仪滑动键 图1-4简易直观三角函数仪滑动键连接板 图(2)直观三角函数计算器 图2-1直观三角函数计算器游标滑板 图2-2直观三角函数计算器余弦游标 图2-3直观三角函数计算器余弦游标内托板 图2-4直观三角函数计算器余弦游标与其内托板的连接螺丝 图2-5直观三角函数计算器基板 图2-6直观三角函数计算器角度游标 图2-7直观三角函数计算器角度游标内托板 图2-8直观三角函数计算器角度游标与其内托板的连接螺丝 图2-9直观三角函数计算器基板上所示单位园中央可旋转园盘档板 图2-10直观三角函数计算器基板上所示单位园中央可旋转园盘档板与基板间的连接螺丝 图2-11直观三角函数计算器基板上所示单位园中央可旋转园园盘与其内托板的连接螺丝 图2-12直观三角函数计算器基板上所示单位园中央，可旋转园盘内托板 图2-13直观三角函数计算器基板上所示单位园中央可旋转园盘固定螺丝压紧簧片 图2-14直观三角函数计算器基板上所示单位园中央可旋转园盘固定螺丝 图2-15直观三角函数计算器基板上所示单位园中央可旋转园盘 图2-16直观三角函数计算器向量臂与其支架连接轴 图2-17直观三角函数计算器向量臂支架 图2-18直观三角函数计算器向量臂支架与单位园中央可旋转园盘的连接螺丝 图2-19直观三角函数计算器向量臂图2-19-1直观三角函数计算器向量臂基臂 图2-19-2直观三角函数计算器向量游标 图2-19-3直观三角函数计算器向量游标固定螺丝压紧簧片 图2-19-4直观三角函数计算器向量游标固定螺丝 图2-19-5直观三角函数计算器向量臂顶端档片连接螺丝 图2-19-6直观三角函数计算器向量臂顶端档片 图2-20直观三角函数计算器滑动板连接板 图2-21直观三角函数计算器滑动键 勘误表