实对称矩阵的相似对角化和等同区别？

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等同特征认定

提问时间:2022-03-16 01:28:02

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陈欢

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相似对角化是针对线性变换的。当然有些变换不能对角化。

同一个线性变换的表示矩阵在不同基下是不同的。但线性变换可以转化为标准型，其标准型有有理标准型，jordan型和对角矩阵(特殊的jordan型)。线性变换不一定能对角化，但在复数域上一定可以化为jordan标准型。若其极小多项式在域上不可约，则可化为有理标准型。对称变换是可以对角化，因为存在一个标准正交基使得对称变换在该基下的表示矩阵为对角距阵。

合同对角化是针对纯量积（特殊的双线性型）的。只要域的特征不为2，则纯量积一定可以对角化。

纯量积和线性变换完全就是两个不同的概念啊，所以相似对角化和合同对角化好像没什么关系吧

实数范围内，内积是特殊的纯量积，对应于正定对称型，其度量矩阵为正定矩阵。一个内积在不同基下度量矩阵不同，但可以化为最简型，此时的度量矩阵为单位矩阵I，而这组基就是标准正交基（即：实内积空间中，任何非标准内积都合同于单位矩阵）。复数域上内积为f(a,ia)=i'f(a,a) ,其中，i'表示虚数单位i的共轭，其度量矩阵为正定厄米特矩阵

总之，相似的矩阵表示同一个线性变换，合同的矩阵表示同一个纯量积，合同的正定厄米特矩阵表示同一个内积。

2022-03-16 04:26:05