大数概率基于什么？

大数定律又称大数法则、大数率。 在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论。大数定律(law of large numbers)，是一类描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。　　有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。　　通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。　　简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”　　大数定理简介　　我们知道，单凭理性计算，有限次重复博弈，是解决个体理性与集体 理性之间矛盾的。无限重复又如何呢？且听我细细道来。 　　在无限重复中，行为规则可以用自动机来代表，于是不同行为规则的 相争，便成了机器与机器的角斗。假设甲和乙玩无限重复的囚犯博弈。甲 相信《美德的起源》一书作者的教导，认定仁厚忠恕既高尚又有效，于是 以它为策略。乙信奉理性流氓主义，崇尚实力和实利，于是以流氓主义为 策略。这样，二人间的博弈，就可以看作恕道机器与流氓机器的争斗。根 据上一贴中列出的框图，我们可以推演出各个回合双方的行为如下： 第一回合，甲仁厚玩合作H，乙宰客玩欺骗D； 第二回合，甲报复玩欺骗D，乙仍然宰客玩欺骗D； 第三回合，甲仍报复玩欺骗D，乙发现甲并非傻客，于是玩合作H； 第四回合，甲原谅乙，玩合作H；乙却因甲上次不合作，回头玩欺骗D宰客； …… 如此等等。采用我们上贴里的报偿表，整个结果序列如下图所示： 　　循　环　循　环　循　环　　┌───┐　┌───┐　┌───┐　　↓　↓　↓　↓　↓　↓　　　行为：甲　H　D　D　H　D　D　H　D　D　　　乙　D　D　H　D　D　H　D　D　H　　　报偿：甲　0　2　6　0　2　6　0　2　6　　　乙　6　2　0　6　2　0　6　2　0　　　…… 请注意，此序列呈现一个有趣的规律：就是每三个一组，不断循环重 复。于是我们很容易算出，博弈各方平均每个回合的报偿有多少　只要 取相继三个回合，作个简单平均就够了。甲得到（0＋2＋6）／ 3 ＝ 2．67，乙得到（6＋2＋0）／ 3＝2．67。显然，两者平分秋色，不相上下，谁也不比谁差，谁也不比谁强。 　　这种循环重复并不是特例。可以证明，有限自动机玩无限重复博弈， 其结果最终都会变成循环重复序列。于是，利用类似的办法，我们可以针 对上贴中列出的七种策略，算出每一对策略相博所产生的的平均报偿。这 些报偿可以写成一个7×7博弈矩阵，如下表所示（其中一些略去了小数， 这不影响下面的讨论）： 　　乙　　傻客　恶棍　冷血　恕道　侠义　流氓　摇摆 ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－· 傻客 ｜4，4｜0，6｜4，4｜4，4｜4，4｜0，6｜0，6｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 恶棍｜6，0｜②，②｜2，2｜2，2｜2，2｜3，1｜2，2｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 冷血｜4，4｜2，2｜④，④｜④，④｜2，2｜3，1｜2，2｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 恕道｜4，4｜2，2｜④，④｜④，④｜3，3｜2，2｜2，2｜ 甲　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 侠义｜4，4｜2，2｜2，2｜3，3｜2，2｜2，2｜2，2｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 流氓｜6，0｜1，3｜1，3｜2，2｜2，2｜④，④｜2，4｜ ｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 摇摆｜6，0｜2，2｜2，2｜2，2｜2，2｜4，2｜③，③｜ ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－·　　上面这个表里面，有带圈数字的格子都是平衡点。比如，乙玩恶棍策 略时，甲无论玩什么，都不比当恶棍带来的好处更多，顶多不致受损而已。 因此，甲乙双方都当恶棍，次次都玩欺骗，便是重复囚犯博弈的平衡点之 一，此时各方的报偿与一次性博弈相同，都是2。 　　观察一下上面这个表，我们会发现它有多个平衡点。非重复博弈中的 均衡点，恶棍对恶棍，双方永远玩欺骗，仍然是无限重复博弈的均衡点。 无条件合作的傻客策略，仍然不是重复博弈的均衡点理性的人，决不会当傻客。更重要的是，重复博弈引进了许多新的平衡点，其中有不少平衡点， 可以实现合作报偿(4,4)。 这包括恕道策略对恕道策略，恕道策略对冷血 策略，冷血策略对冷血策略，流氓策略对流氓策略等，都可以维持双方的 合作。以流氓对流氓为例：第一回合，双方耍流氓互宰，发现对方不是好 惹的之后，双方转入合作心态，此后一直维持合作，这样无限次重复，其 平均报偿都是4。 　　事实上，存在这无穷多对有限自动机策略，可以成为无限重复博弈的 平衡点，并同时实现双方的合作。这就是有名的“大众定理(Folk Theorem)”， 又译作“无名氏定理”。它之得名，是由于重复博弈促进合作的思想，早 就有很多人提出，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”名之。 　　大众定理说明了行为规则的多样性：有无穷多种行为规则可以支持合 作行为。在正常的平衡状态中，可观察到的行为可以完全相同的，此即博 弈双方相互合作，不玩欺骗。但其背后的行为规则却可能大不相同合作，可以是由于双方都信奉仁厚的恕道主义，也可能是因为双方都是理性 流氓，还可能是因为双方都一冷血报复作威胁。这些行为规则上的区别， 在正常的平衡状态中，是看不出来的，只有在非正常情况下，或在与外人 的交往中，才会表现出来。 　　为说明此点，设想有两个相互隔离的社会：一个形成了理性流氓式的 行为规则，一个形成仁厚恕道的行为规则，他们各自内部都能维持相互合 作，这形成了社会的正常状态。外人但凭观察这两个社会中人们的正常行 为，看不出他们有什么区别。现在假设两个社会打破隔离，相互接触，会 产生甚么情况？两套行为规则间会出现激烈的冲突！初次接触，流氓主义者将把对方当傻客，大宰其客。恕道主义者假设 对方是好人，选择合作，只是在吃了亏之后，才以回宰其客相回报。流氓 主义者见对方回宰，以为对方也是跟自己一样的流氓，于是转向合作心态， 同时预期对方也选择合作。但恕道主义者根据“以直报怨”的原则，仍然 以宰客回报对方上次的欺骗。流氓主义者一看对方不合作，怒从心起，于 是报之以宰客，如此循环往复，双方永远无法达成合作。 　　行为规则的冲突，类似于人文学科里常说的文化冲突。由于行为规则 反映了人们对各自行为的稳定预期，一些博弈论者把不同