什么是，半群？

今天闲着没事优化一下：

手是三种途径都可以改成这个写法。写是从草書改造。体把单人旁连成一笔，本原本有第三种简写，只去掉了一点。汉把釣去了，更简洁。的是先草写，再把白旁去了，看起来像6的反写。太本来跟大是一个字，所以合并了。只先是合并到止，再用止的另一种写法，顺手一些。简是把竹头简化成两点一横，把声旁间改成J。化是根据花的草書省改的。至、四是从草書改造。百先合并到白，古代也有相通的案例，再从草書改造，所以最下面一横去掉了。个上面的人连成一笔。为从草書改造。什合并到十。全重新简化。都把左边改成Z，更连贯顺手。掉本来D是大写，改成小写，更顺手，更易辨别。虽字把两个口改成横，比原来更简洁、顺手。然改成太，因为太字合并到大了，所以把二简字犬下一横的写法简省一下。改的己改成Z更连贯。造把原本的走之底优化了一下，更连贯。成重新简化。对去掉了寸的一点。后把中间一横省去，再用草書写法，把口改成两点。有古代经常写作又，故合并之。可从草書简化，比原来更流暢。说把兊省成允。是重新从草書改造。弊把上面大写改成小写。

（这是关于《范畴论》一系列回答的第五篇，紧接在问题：”什么叫做一一变换？“ 之后，小石头将在本篇中对前面回答中遗漏的知识点进行补充。）

先回答题主的问题：简单来说，给集合赋予满足结合律的二元运算就是半群，具体分析如下：

自然数（包括零）是人类最早发现的一类数字，同时，加法运算也伴随着自然数一并产生。将全体自然数的集合记为 N，则对于任意 a, b ∈ N 都有 a + b ∈ N，可见 加法运算 在 自然数集 中 封闭，于是加法运算就是 二元函数，

+: N × N → N, (a, b) ? a + b

早期劳动人民通过实践，还总结出，加法满足结合律，即，

(a + b) + c = a + (b + c)

于是连加，被写成：

a + b + c

没毛病！

紧接，古人有在加法基础上发明了乘法运算，它同样 在 自然数集 中 封闭，当然 也是 个 二元运算，

· : N × N → N, (a, b) ? a · b

同样满足 结合律，

(a · b) · c = a · (b · c)

比较，(N, +) 和 (N, ·)，它们完全类似，于是 数学家 对它们进行了抽象，得到如下定义：

给定 非空集合 X，以及 X 上的 二元运算 °: X × X → X，如果 该运算 满足 结合律，即，

(a ° b) ° c = a ° (b ° c)

则称 (X, °) 为 半群，可简写为 X。

(N, +) 和 (N, ·) 都是半群的 实例，再观察还能发现，它们中分别存在 0 和 1 这样的特殊数字，使得：

a + 0 = 0 + a = a

a · 1 = 1 · a = a

于是 数学家 继续抽象：

在 半群 (X, °) 中 如果存在 e ∈ X，使得：

e ° a = a ° e = e

则称 (X, °) 为幺半群，称 e 为幺元。

(N, +) 和 (N, ·) 也都是幺半群的 实例。

幺半群的实例很多，比如：

将，整数集、有理数集、实数集、复数集 分别记为 Z、Q、R、C，则 (Z, +)、(Z, ·)、(Q, +)、(Q, ·) 、(R, +)、(R, ·)、(C, +)、(C, ·) 都是 幺半群；

用 K? 表示 K 中 大于 0 的元素，则 (Q?, ·) 是幺半群，而 (Z?, +) 只是 半群 不是幺半群；

Mn(K) 表示数域 K 上的 全体 n 阶方阵，则 Mn(K) 在矩阵的 乘法运算下 构成 幺半群，单位矩阵 E 就是其中的幺元；

在 任意范畴 C 中，函子的 复合运算 ° 也满足 结合律，但是 复合运算 仅仅是 MorC 上有条件 的 二元元素，即，

°: MorC × MorC ? MorC

必须满足 cod f = dom g 的条件 g ° f 才存在，所以 (MorC, °) 一般来说并不是 幺半群。

但是考虑 只含有 一个对象的范畴，例如，前文中提到的 由 一个对象 R 和全体 R 上的实数函数 构成的 范畴 ?，可以保证满足条件，而 1? 则是幺元，于是类似这样的范畴全体态射和复合运算构成 幺半群。首次启发，对于 C 中任意对象 A，Hom(A) 关于 复合运算 也 构成 幺半群。

函子范畴 Funct(A, B) 对于其中任意函子 F: A → B，其上所有 自由变换 在 自由变换的复合运算 下构成 幺半群，其中 1? 是幺元。

除了以上这样已有的幺半群，给定任意集合 X 我们还可以构造一个 幺半群 Y，构造方法如下：

将 X 看做字母表，其中的元素称为字母；

令 Y 是所有以 X 为字母的单词的组成的集合；

把 Y 中任意两个单词 x, y 拼接在一起，得到的 xy 依然是单词，于是 将这种拼接定义为 在 Y 上 二元运算为，即， x ° y = xy；

将空白 ” “ 视作字母，则有 x ° = x = ° x，将其 作为幺元加入 Y；

最终，我们就得到了一个 幺半群，称为自由幺半群。

实际的构造过程如下：

最初 令 Y = X；

任取 Y 中两个元素 x 和 y，如果 xy 不属于 Y 则令 Y = Y ∪ {xy}，一直重复这个过程；

最后 令 Y = Y ∪ {” “}；

例如：

如果 X = {a, b, c} 则构造结果为 Y = {” “, a, b, c, ab, ac, bc, ba, ca, cb, aabb, ...}

给定一个集合 X，以其作为字母表，我们可以构造一个 自由幺半群 Y，反过来，给定一个 自由幺半群 Y，我们也可以筛选出作为其字母表的集合 X。

观察，(Z, +) 和 (Q, ·) 我们发现，它们还有共同点：

对于 任意 a ∈ Z，都有 b = -a ∈ Z 使得 a + b = b + a = 0；

对于 任意 a ∈ Q，都有 b = 1/a ∈ Z 使得 a · b = b · a = 1；

于是数学家规定，

如果 幺半群 (X, °) 满足，

对于 任意 a ∈ Y，都有 存在 b ∈ Y 使得 a ° b = b ° a = e，则该幺半群 为 群，称 b 为 a 的逆元，记为 a?1。

有了以上这些抽象的代数系统的定义，数学家就可通过研究它们得到 普遍性的 数学结论，研究 抽象代数系统 的数学称为《抽象代数》。

如果 两个群 G 和 G" 之间的 函数 f: G → G" 如果 对于任意 a,b ∈ G ，都满足：

f(a ° b) = f(a) ° f(b)

则称 f 为 群同态。再 如果 f 又是双射，则称 f 为 群同构，并称 G 和 G" 同构，记为， G ? G"。

群同态的函数复合还是群同态；每个群上的恒等变换是群同构。

于是，以 全体群作为对象 与 群之间的 全体 群同态作为态射，组成 一个范畴，记为 Grp。

考虑 函子 F: Grp → Set，它将 Grp 的每个 群 X 映射为 Set 中的 集合 X，Grp 的每个 群同态 f 映射为 Set 中的 函数 f， 我们称这类函子为 忘却函子。

群是不能为空的，最小的群是只含有幺元 e 的群，称为 平凡群。在 Grp 平凡群 既是 初始对象 又是 终止对象，故 它是零对象。

设，e" 是 G" 的 幺元，定义集合：

Ker(f) = {x ∈ G | f(x)

　　半群是一个二元运算的代数系统。　　设V=<S，*>是代数系统，*是二元运算，如果*是可结合的，即a*b*c=a*(b*c)，则称V是半群。　　半群定义：　　定义1：对于某非空集合S,若存在S上的二元运算"*"使得对于任意的a,b∈S,有a*b∈S（运算封闭），则称{S,*}为广群。　　定义2：若{S,*}为广群，且*在S上满足结合律，则称{S,*}为半群。　　定理1：设{S,*}是一个半群，B包含于S且*在B上封闭，则{B,*}也是一个半群，通常称为{S,*}的子半群。　　定理2：若{S,*}为半群，且S是有限集，则必有元a∈S,使a*a=a。　　定理说明有限半群必有幂等元。　　定义3：含有幺元的半群称为幺半群。有时幺半群也记{S,*,e}。　　定理3：设{S,*}为幺半群，则关于*的运算表中任何两行或两列都不同。　　定理4：{S,*}为幺半群，若对任a,b∈S，有逆元aˉ1,bˉ1,则　　1）(aˉ1)ˉ1=a　　2）a*b有逆且(a*b)ˉ1=bˉ1*aˉ1。　　班群的例：　　（Z，+），（Z，×），　　（N，×），（N，+），　　（Q，+），（R，×），　　（Zn，+），（Zn，×）　　（P(S),∪），（P(S),∩），　　（Mn，+），（Mn，×），　　（F[x],+）,(F[x],×)，　　S上全体映射，对于复合，　　（L，∧），（L，∨），L是格　　（A*,?）,　　A*是A中字符组成的字符串，　　?是连接运算，